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<!DOCTYPE html>

<title>Detailed Balance</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Detailed Balance</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der Begriff <b>Detailed Balance</b> (<b>detailliertes Gleichgewicht</b>) bezeichnet eine Eigenschaft von homogenen <a href="Markow-Kette" title="Markow-Kette">Markow-Ketten</a>, einem speziellen <a href="Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess">stochastischen Prozess</a>. Anschaulich ist ein Prozess im detaillierten Gleichgewicht, wenn nicht erkennbar ist, ob er sich zeitlich vorwärts oder rückwärts bewegt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Eine Markow-Kette mit möglichen Zuständen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7dc023347d1c15702753d254d7b7ba009258ff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"></span> und einer <a href="%C3%9Cbergangsmatrix" title="Übergangsmatrix">Übergangsmatrix</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (w_{ij})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (w_{ij})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf10e4d1c0b6869b41168f54b17bfbbd50307561.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.951ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (w_{ij})}" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3302ff355269436b43bc2fbe180303881c09321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.141ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle w_{ij}}" loading="lazy"></span> die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}" loading="lazy"></span> zum Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{j}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca3cb1ef7c9f25e85e1957e4eb58a72fa16a0066.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.834ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{j}}" loading="lazy"></span> bezeichnet (also die <a href="%C3%9Cbergangswahrscheinlichkeit" class="mw-redirect" title="Übergangswahrscheinlichkeit">Übergangswahrscheinlichkeit</a>), heißt <i>reversibel</i> <i>bezüglich der Verteilung</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"></span>, wenn

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(X_{i})w_{ij}=P(X_{j})w_{ji}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3cc6f1343eaaadc836454fd1af83673ce3756c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.048ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle P(X_{i})w_{ij}=P(X_{j})w_{ji}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4cbf8bbc622154cda8208d6e339495fe16a1f9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,j}" loading="lazy"></span> gilt. Eine Markow-Kette heißt <i>reversibel</i>, wenn sie eine Verteilung besitzt, bezüglich derer sie reversibel ist.

</p><p>Die obige Gleichung ist die Bedingung des detaillierten Gleichgewichts. Ist sie erfüllt, so ist das System, das durch den Markow-Prozess beschrieben wird, im detaillierten Gleichgewicht oder der detaillierten Balance.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>Der <a href="Metropolisalgorithmus" class="mw-redirect" title="Metropolisalgorithmus">Metropolisalgorithmus</a> ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Eigenschaft der <i>Detailed Balance</i> erfüllt. Er wird in <a href="Monte-Carlo-Simulation" title="Monte-Carlo-Simulation">Monte-Carlo-Simulationen</a> dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.</li>

<li>Für <a href="Station%C3%A4rer_stochastischer_Prozess" title="Stationärer stochastischer Prozess">stationäre</a> <a href="Markow-Ketten" class="mw-redirect" title="Markow-Ketten">Markow-Ketten</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7dc023347d1c15702753d254d7b7ba009258ff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{z})_{z\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"></span> mit Übergangsmatrix <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (w_{ij})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (w_{ij})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf10e4d1c0b6869b41168f54b17bfbbd50307561.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.951ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (w_{ij})}" loading="lazy"></span> (also insbesondere für diejenigen Ketten, die in einer <a href="Station%C3%A4re_Verteilung" title="Stationäre Verteilung">stationären Verteilung</a> starten) ist diese Eigenschaft äquivalent zur <i>zeitlichen Reversibilität</i>, das heißt, für den <a href="Zeitumkehr_(Physik)" title="Zeitumkehr (Physik)">zeitumgekehrten</a> Prozess <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {X}}_{z}:=X_{-z}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {X}}_{z}:=X_{-z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b54aa2ea49bdaa8823ee584bd2c98bfa33a136d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.931ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {X}}_{z}:=X_{-z}}" loading="lazy"></span> gilt für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in \mathbb {Z} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e787c488b2323f24d511ce7f44061237f4166bfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.521ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"></span></li></ul>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}})\sim (X_{-t_{1}},\dots ,X_{-t_{n}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4051470d9d3826e20ed2d59483d5cc9a9d5ff7a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:34.224ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}})\sim (X_{-t_{1}},\dots ,X_{-t_{n}})}" loading="lazy"></span>, das heißt, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t_{1}},\ldots }">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t_{1}},\ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bba952bfe1ff8e651ad2b83f22f1389864e10cf5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.339ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{t_{1}},\ldots }" loading="lazy"></span> sind verteilt wie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{-t_{1}},\ldots }">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{-t_{1}},\ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0837053e74b8d6ef7530fc91d40aec386e318d07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.618ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{-t_{1}},\ldots }" loading="lazy"></span></dd>

<dd>Für jede <a href="Stochastischer_Prozess#Pfade" title="Stochastischer Prozess">Realisierung</a> ist also gleichgültig, in welcher Richtung sie durchlaufen wird.</dd></dl>

<ul><li>Jede Verteilung, welche die Detailed-Balance-Bedingung erfüllt, ist eine stationäre Verteilung. Das folgt direkt aus der <a href="Mastergleichung" title="Mastergleichung">Mastergleichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell \neq k}(w_{k\ell }P_{\ell }-w_{\ell k}P_{k})=0}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell \neq k}(w_{k\ell }P_{\ell }-w_{\ell k}P_{k})=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c74c2f27986b779d0b32be031daf40d09d9ff18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:31.942ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell \neq k}(w_{k\ell }P_{\ell }-w_{\ell k}P_{k})=0}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<dl><dd>Die Konvergenz einer beliebigen Verteilung gegen die stationäre Verteilung ist daraus aber nicht gegeben. Ein hinreichendes Kriterium dafür liefert zum Beispiel der <a href="Individueller_Ergodensatz" title="Individueller Ergodensatz">Ergodensatz</a>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Gibbs-Sampling" title="Gibbs-Sampling">Gibbs-Sampling</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>G. Bhanot, <i>The Metropolis algorithm</i>, Rep. Prog. Phys. 51 (1988) 429</li>

<li>Achim Klenke: <i>Wahrscheinlichkeitstheorie.</i> 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8</li>

<li>Hans-Otto Georgii: <i>Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik</i>, 5. Auflage, de Gruyter 2015</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>